通往圣彼得堡悖论的奇迹之路

圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox）通常被表述为一个令人困惑的定价问题：如果某个随机游戏具有无穷大的数学期望，那么一个理性投资者究竟应该愿意为它支付多少钱？按照传统的期望收益最大化原则，投资者似乎应该接受任何有限的入场费，但这一结论与现实中的投资行为明显不符。绝大多数人不会愿意为这种游戏支付过高的价格，即使他们完全理解其奖金分布和无限期望的数学性质。

这一悖论在经济学史上具有特殊地位。1738 年，Daniel Bernoulli 通过边际效用递减的思想，引入对数效用函数，对这一问题给出了早期解释。两个多世纪后，John L. Kelly Jr.（1956）将对数增长目标引入重复赌博和信息理论，Leo Breiman（1961）进一步证明了最优资本增长策略的一系列长期性质。Bell 和 Cover（1980）的研究则表明，对于圣彼得堡类型的投资机会，投资者即使面对任意高的价格，也可能希望保留一个严格为正的投资比例，但这一比例会随着价格上升而不断下降。

这些研究揭示出一个比传统圣彼得堡悖论更深刻的问题：一项资产的期望收益、投资者的最高支付意愿，以及该资产在最优投资组合中应当占据的比例，是三个不同的数学对象。

尤其是在可重复投资、财富按比例复利增长的环境中，算术期望通常不是长期投资问题的适当优化目标。投资者真正需要考虑的，是随机收益如何作用于当前财富，以及不同投资比例对长期资本增长、财富回撤和资金生存能力的影响。

圣彼得堡悖论的概率结构与无穷期望

游戏规则及其收益分布

考虑一枚公平硬币，连续投掷直到第一次出现反面。如果第一次投掷即出现反面，获得 2 元；如果第二次才出现反面，获得 4 元；如果第 $n$ 次才出现反面，获得 $2^n$ 元。

令 $N$ 表示第一次出现反面时的投掷次数，奖金随机变量定义为 $X=2^N$。由于硬币公平且各次投掷相互独立，因此：

\[P(N=n)=2^{-n},\qquad n=1,2,\ldots\]

由此得到游戏的奖金分布：

第一次出现反面的次数	奖金	概率
1	2	50%
2	4	25%
3	8	12.5%
4	16	6.25%
5	32	3.125%
6	64	1.5625%
$n$	$2^n$	$2^{-n}$

需要说明的是，圣彼得堡游戏在文献中存在不同的奖金归一化方式，有些版本从 1 元开始支付，另一些版本从 2 元开始支付。本文采用第一次出现反面支付 2 元的定义。

奖金的数学期望为：

\[\begin{aligned} E[X] &=\sum_{n=1}^{\infty}P(N=n)2^n\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}2^n\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}1\\ &=\infty \end{aligned}\]

假设参与游戏的入场费为 $c$，则净收益为 $R=X-c$。对于任何有限价格 $c$，均有 $E[R]=\infty$。因此，按照风险中性的期望财富最大化准则，该游戏在任何有限价格下都具有正的期望净收益。

但是，游戏奖金的中位数仅为 2 元，而且有 75% 的概率奖金不超过 4 元，93.75% 的概率奖金不超过 16 元。无限期望来自分布极端尾部的收益，而非普通情况下能够稳定获得的回报。

这个游戏所提出的根本问题是：当数学期望由极端罕见的事件支撑时，期望收益最大化是否仍然是描述投资者实际决策的恰当准则？

Bernoulli 的解决方案：从期望财富到期望效用

边际效用递减与对数效用

Daniel Bernoulli 的重要贡献，在于将资产的货币价值与投资者对财富的主观效用区分开来。他认为，同样金额的财富增加，对于拥有不同初始财富的人，其经济意义并不相同。

Bernoulli 提出的核心假设可以用边际效用与财富成反比来描述，即 $U’(W)=1/W$。对这一关系积分，得到对数效用函数：

\[U(W)=\ln W\]

这一函数满足 $U'(W)>0$ 和 $U''(W)<0$，因此具有严格单调性和严格凹性。财富增加仍然带来更高效用，但边际效用随着财富增长而递减。

在这个框架下，投资者不再直接最大化奖金的数学期望，而是最大化投资结束后财富的期望效用：

\[\max E[U(W')]\]

其中 $W’$ 是投资后的随机财富。

对数效用为什么能够处理原始悖论

在本文定义的奖金分布下，直接对奖金取对数，可得：

\[\begin{aligned} E[\ln X] &=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\ln(2^n)\\ &=\ln2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\\ &=2\ln2 \end{aligned}\]

由于 $\sum_{n=1}^{\infty}n/2^n=2$，因此 $E[\ln X]=2\ln2\approx1.38629$，是一个有限值。

这与算术期望的无穷大形成鲜明对比。奖金以指数速度增长，而对数变换把指数增长转化为线性增长，使得尾部贡献从无法收敛的常数级数转变为可以收敛的加权级数。

单次门票的等价价格

假设投资者初始财富为 $W$，只能购买一张完整门票，价格为 $c$，则游戏结束后的财富为：

\[W'=W-c+X\]

如果投资者购买门票，则其期望效用为 $E[\ln(W-c+X)]$；如果不参与，则效用为 $\ln W$。在要求预先支付门票费用、禁止借款且最终财富为正的前提下，投资者愿意参与的条件为：

\[E[\ln(W-c+X)]\geq\ln W\]

将游戏的概率分布代入，可得：

\[\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \ln\left(1+\frac{2^n-c}{W}\right)\geq0\]

最高愿付价格 $c_{\max}$ 由等号对应的无差异条件确定：

\[\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \ln\left(1+\frac{2^n-c_{\max}}{W}\right)=0 }\]

通过数值求根，可以得到不同财富水平的最高愿付价格：

初始财富	最高愿付价格
10 元	4.97 元
20 元	5.77 元
100 元	7.79 元
1,000 元	10.95 元
10,000 元	14.24 元
1,000,000 元	20.87 元

这一结果说明，最高愿付价格并不是游戏本身固有的常数，而是与投资者初始财富有关。财富较多的投资者通常能够承受更大的绝对金额风险，因此愿意支付更高的门票价格，但其最高支付意愿仍然是有限的。

Menger 质疑凹效用的缺陷

一个容易忽视的理论限制是：并非任何严格凹效用函数都能使圣彼得堡游戏的期望效用变为有限值。MacLean、Thorp 和 Ziemba 在其历史综述中强调了这一点，并回顾了 Menger 对圣彼得堡悖论推广形式的讨论。

对原始游戏而言，对数效用增长得足够缓慢，因此能够产生有限的期望效用；但是，对于某些增长速度快于对数的凹效用函数，期望效用仍然可能发散。

进一步考虑一个修改后的游戏，假设第 $n$ 次才出现反面时，支付的奖金变成 $X_n=e^{2^n}$。即使使用对数效用，也有：

\[\begin{aligned} E[\ln X] &=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\ln(e^{2^n})\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}1\\ &=\infty \end{aligned}\]

因此，Bernoulli 的对数效用解决方案并不是对任意奖金增长结构都有效的普遍定理。对数效用能否产生有限估值，取决于效用函数的增长速度与随机支付分布尾部之间的关系。

这一限制也提示我们，单纯选择某种效用函数，并不能完全替代对实际投资过程及其约束的分析。

Kelly 准则：从一次性估值到长期资本增长

Kelly（1956）的工作把对数效用从单次投资选择推进到了可重复的资本增长问题。其核心目标并不是最大化每轮收益的算术期望，而是在随机收益持续作用于当前财富的情况下，最大化长期资本的复合增长率。

考虑投资者每轮将财富比例 $f$ 投入一个二元赌局。假设获胜概率为 $p$，失败概率为 $q=1-p$，获胜时净赔率为 $b$，失败时损失全部下注本金。

如果经过 $T$ 轮投资，其中获胜 $M$ 次，则最终财富为：

\[W_T=W_0(1+bf)^M(1-f)^{T-M}\]

两边取对数并除以投资轮数：

\[\frac1T\ln\frac{W_T}{W_0} = \frac MT\ln(1+bf) + \left(1-\frac MT\right)\ln(1-f)\]

在每轮结果独立同分布的前提下，根据强大数定律，长期获胜频率满足 $M/T\to p$，于是长期对数增长率几乎必然收敛到：

\[\boxed{ g(f)=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f) }\]

这建立了期望对数收益与长期典型财富增长之间的数学联系。Kelly 最优策略因此可以理解为：在给定投资机会下，选择使长期复合增长率最大的固定财富投入比例。

对增长函数求导，并令一阶导数为零：

\[\frac{bp}{1+bf}-\frac{q}{1-f}=0\]

可以得到：

\[\boxed{ f^*=\frac{bp-q}{b} }\]

这个公式常被解释为优势与赔率之间的关系：当赌局具有正的统计优势时，投资者可以配置正仓位；当没有优势时，最优下注比例为零。如果不允许做空，则负的理论解应截断为零。

其经济学含义并不是简单地回避所有可能亏损的投资，而是在潜在收益与潜在损失之间寻找使复利增长率最大的资本配置比例。

更高的算术期望不必然对应更高的最优仓位。当下注过大时，即使平均收益有利，少数亏损也可能对复利增长产生严重的不利影响。

Breiman 对最优资本增长的理论贡献

Breiman（1961）在更一般的离散时间投资环境中，严格研究了最优资本增长策略的长期性质。其结果使 Kelly 准则从一个赌博下注公式发展为具有一般意义的投资组合优化原则。

在满足适当的独立性、平稳性、可投资性和正财富等条件时，最大化期望对数增长的策略具有重要的长期最优性质。其中一个核心思想是，相对于持续采用不同且增长率较低的投资策略，最优增长策略可以在长期获得不断扩大的相对财富优势。

需要强调，这是一类有明确假设和适用范围的长期最优性结果，并不意味着 Kelly 策略在每一个有限期限内都会实现最高财富，也不意味着其短期回撤小或破产风险一定最低。

Bell–Cover 视角：为什么高价格仍可能对应正的仓位？

最高支付价格与最优投资比例的根本区别

传统圣彼得堡悖论通常询问投资者最多愿意花多少钱购买一张门票，但从资本增长理论出发，更自然的问题是：如果门票具有某个确定价格，投资者应该将多少比例的财富配置到该游戏中？

这两个问题之间存在重要区别。购买一张完整门票是一个离散选择问题，投资者只能接受或拒绝；连续资本配置则允许投资者按照任何比例参与游戏。

Bell 和 Cover 关于圣彼得堡游戏的讨论表明，在某种允许按比例投资的理想化环境中，高价格并不必然导致零投资。只要收益分布保留足够强的极端尾部，投资者就可能希望保留一个非常小但严格为正的仓位。

连续投资模型

设投资者当前财富为 $W$，完整门票的单位价格为 $c$，允许门票任意按比例购买。投资者将财富的比例 $f$ 投入游戏，剩余比例 $1-f$ 保留现金，其中 $0\leq f\leq1$。

由于投入金额为 $fW$，可获得的完整门票等价份额为 $fW/c$。如果游戏最终支付奖金 $X=2^N$，则投资结束后的财富为：

\[W'=W(1-f)+\frac{fW}{c}X\]

相应的财富乘数为：

\[M(f)=1-f+f\frac Xc\]

Kelly 准则要求最大化财富乘数的期望对数值，即：

\[g(f)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \ln\left(1-f+f\frac{2^n}{c}\right)\]

最优投资比例由以下优化问题定义：

\[f^*=\underset{0\leq f\leq1}{\arg\max}\ g(f)\]

这里的连续性假设非常重要：模型允许购买任意比例的完整支付合约，并且投资者未投入的资金保留为无风险现金。只有在这种条件下，投入比例 $f$ 才能被视为连续决策变量。

一阶最优条件与严格凹性

对增长函数求一阶导数：

\[g'(f)= \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \frac{2^n/c-1} {1-f+f2^n/c}\]

将分子分母同时乘以 $c/2^n$，得到数值计算更加稳定的形式：

\[\boxed{ g'(f)= \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \frac{1-c2^{-n}} {f+(1-f)c2^{-n}} }\]

再求二阶导数：

\[g''(f)=- \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \frac{(2^n/c-1)^2} {(1-f+f2^n/c)^2}\]

在内部可行区间中，二阶导数严格小于零，因此目标函数具有严格凹性。这意味着如果内部驻点存在，那么满足 $g’(f^*)=0$ 的解就是唯一的全局最优解。

严格凹性不仅保证了经济学意义上的最优解唯一，也使后续的数值优化相对简单。我们不需要处理多个局部最大值，而只需通过一维数值求根寻找导数为零的位置。

临界价格为 3 元

首先考虑将全部财富投入游戏，即 $f=1$。此时一阶导数可以化简为：

\[\begin{aligned} g'(1) &=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \left(1-\frac{c}{2^n}\right)\\ &=1-c\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}\\ &=1-\frac c3 \end{aligned}\]

因此，当 $c\leq3$ 时，增长函数在右侧边界的导数非负。结合严格凹性，最优投入比例为 $f^*=1$，即理论上的全仓投资。

当 $c>3$ 时，右侧边界导数变为负数，全仓投资不再是最优选择。但是，对于任何有限的价格 $c$，在零仓位附近，增长函数的右导数满足：

\[\lim_{f\to0^+}g'(f)=+\infty\]

这一结果来自圣彼得堡奖金分布的无限算术期望。它意味着无论价格有多高，只要价格有限，在足够小的仓位附近，增加投资比例仍然具有正的边际期望对数增长贡献。

结合导数连续性和严格单调递减性，可以得到：

\[f^*= \begin{cases} 1,&c\leq3\\ \text{满足 }g'(f^*)=0\text{ 的唯一内部解},&c>3 \end{cases}\]

为什么任意有限价格仍然存在正的最优仓位？

这个结论初看可能与风险厌恶的直觉相矛盾。既然价格可以任意高，为什么不能出现一个价格，使投资者完全不愿参与？

原因在于，圣彼得堡游戏的收益分布不存在有限的一阶矩。对于任何固定的有限价格，极端尾部的奖金虽然发生概率非常小，但其规模增长得足够快，使零仓位处的边际期望对数收益发散。

然而，零仓位附近的边际收益很高，并不意味着应当投入大量资金。随着投入比例增加，低奖金事件导致的财富损失开始显著影响对数增长率，最终使边际增长收益下降到零。

因此，可以同时成立以下两个结论：任意有限门票价格都对应正的最优投入比例；门票价格越高，最优投入比例越接近零。

这正是 Bell–Cover 分析思路中最值得关注的部分。问题并不是简单地判断一个具有无限期望的赌局是否值得参与，而是决定在给定价格下，应当承担多大程度的资本风险。

数值优化：不同门票价格对应多少 Kelly 仓位？

求根形式与级数截断

对于 $c\leq3$，最优投入比例可以直接由解析条件确定为 100%。对于 $c>3$，需要数值求解一阶最优方程：

\[\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} \frac{1-c2^{-n}} {f+(1-f)c2^{-n}}=0\]

由于该方程一般无法用简单的初等函数求出显式解，可以通过截断级数进行近似计算。选择足够大的正整数 $K$，定义：

\[D_K(f;c)= \sum_{n=1}^{K}2^{-n} \frac{1-c2^{-n}} {f+(1-f)c2^{-n}}\]

随后求解 $D_K(f;c)=0$。对于固定的正数 $f$，随着 $K$ 增加，截断级数收敛到原始导数函数。由于函数单调递减，可以采用二分法或 Brent 方法进行稳定求根。

在数值实现中还需要注意一个技术细节：当门票价格非常高时，最优投资比例可能极其接近零。这时不仅需要足够多的截断项，还需要合理设置求根区间与绝对误差容限，避免数值算法将一个很小但严格为正的最优仓位误判为零。

Python 数值实现

下面给出完整的 Python 实现。该程序使用 NumPy 计算截断级数，并使用 SciPy 的 Brent 方法求解最优投资比例。

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq


def kelly_fraction(c, N=1024):
    """
    Optimal Kelly fraction for the
    St. Petersburg game.

    Parameters
    ----------
    c : float
        Price of one complete ticket.
    N : int
        Number of truncated series terms.

    Returns
    -------
    float
        Optimal investment fraction.
    """
    if c <= 0:
        raise ValueError("Price must be positive.")

    if c <= 3:
        return 1.0

    n = np.arange(1, N + 1, dtype=float)
    p = np.exp2(-n)

    def derivative(f):
        numerator = p * (1 - c * p)
        denominator = f + (1 - f) * c * p
        return np.sum(numerator / denominator)

    lower = 1e-15
    upper = 1.0

    if derivative(lower) <= 0:
        raise ValueError(
            "The root lies below the chosen bracket."
        )

    return brentq(
        derivative,
        lower,
        upper,
        xtol=1e-15
    )


prices = [1, 2, 3, 4, 5, 10, 20]

for c in prices:
    f = kelly_fraction(c)
    print(
        f"Price = {c:2d}, "
        f"Kelly fraction = {f * 100:.8f}%"
    )

这里采用 1024 项截断。对于本文讨论的价格范围，尾部截断误差已经很小，足以支持表格中的精度。实现采用经过代数变换的导数表达式，因此不必直接计算巨大的指数奖金，有助于降低数值溢出的风险。

门票价格	Kelly 最优投入比例
1 元	100%
2 元	100%
3 元	100%
4 元	38.49031865%
5 元	17.87928243%
10 元	0.72143149%
20 元	0.00134893%

数值结果清楚地展示了最优投入比例随价格上升而迅速下降的特征。当门票价格从 3 元上升至 4 元时，最优投入比例由 100% 降至约 38.49%；当门票价格达到 10 元时，最优比例仅约为 0.72%；当价格为 20 元时，理论最优比例只有约 0.00135%。

例如，假设投资者拥有 100 万元可投资财富，且门票价格为 20 元。那么连续 Kelly 模型给出的最优投入金额约为：

\[1{,}000{,}000\times0.0000134893 \approx13.49\text{ 元}\]

由于该最优金额低于完整门票的价格，如果门票不可分割，理论上的连续最优配置就无法直接执行。

Kelly 最优并不意味着波动最小

Kelly 准则具有长期资本增长意义上的最优性，但它并不是最小波动率策略，也不是最小回撤策略。在实际投资中，完整 Kelly 仓位可能承受显著的短期财富波动，甚至可能出现投资者无法接受的持续回撤。

MacLean、Thorp 和 Ziemba 对资本增长理论的讨论同样强调了增长与安全性之间的权衡。在理论收益分布已知且模型假设成立时，Kelly 最优仓位具有明确的长期增长性质；但当概率估计存在误差、投资者面临流动性约束或资金必须用于其他用途时，较为保守的配置可能更符合实际需求。

例如，投资者可以在连续 Kelly 解的基础上进一步施加最大投资比例、最大回撤概率或者资金流动性要求。这些约束通常会降低可执行仓位。

从圣彼得堡悖论到现代投资组合理论

三种不同的估值与配置问题

通过前面的分析，可以明确区分三种常被混淆的问题。

• 第一种是资产的数学期望，其定义完全由收益概率分布决定；
• 第二种是投资者对某个不可分割投资机会的最高愿付价格，取决于财富水平与效用函数；
• 第三种是在资产价格已知时，投资者应该配置多少资本，取决于长期增长目标。

值得注意的是，在连续 Kelly 模型中，最优投资比例与初始财富 $W$ 无关。这是因为该模型具有财富规模不变性，投资者只需要决定当前财富的投入比例，而不需要分别为不同财富水平重新求解最优比例。

资产是否值得买，与应该买多少，是不同的问题

在实际金融市场中，投资者往往首先尝试判断资产是否被低估，并据此形成买入或卖出的二元决策。然而，对于具有复杂收益分布的资产，单纯判断是否具有正期望并不足以构成完整的投资策略。

即使资产具有正的预期超额收益，仓位过大也可能降低长期复合增长率。

因此，一个更完整的决策框架应当同时回答三个问题：资产的支付分布是什么，资本配置对财富动力学产生什么影响，以及哪些投资比例或交易数量在现实中真正可行。

这一框架同样适用于具有高度偏斜收益分布的风险投资、创业股权、期权组合以及其他非线性支付资产。虽然这些资产通常并不具有圣彼得堡游戏那样严格的无限期望，但它们同样可能存在极端右偏分布，使算术期望收益与典型投资结果之间出现明显差异。

结论

圣彼得堡悖论的价值，并不只是展示了一个期望收益无穷大、却只有有限支付意愿的概率游戏。它更深刻地揭示了风险决策中三个需要严格区分的概念：收益的数学期望、财富的效用价值以及长期资本增长的最优配置。

Bernoulli 的对数效用理论解释了为什么财富的边际效用递减会使投资者拒绝某些具有极高算术期望的风险；Kelly 的资本增长准则进一步说明，当收益可以重复获得且资本按照当前财富比例配置时，长期优化目标应当关注财富的复合增长；Breiman 的研究则为这类增长最优策略提供了重要的长期理论基础。

圣彼得堡悖论并不存在一个独立于所有条件的统一合理价格。对于一次性的完整门票购买，价格应当通过投资者的财富和效用目标确定；对于可以按比例重复参与的投资机会，则可以利用 Kelly 准则求解其长期最优资本配置。

最终，这个悖论所揭示的投资原则可以归结为一句话：具有无限期望收益的资产，并不意味着投资者应该支付无限价格，更不意味着应该配置无限资本。理性的投资决策必须建立在明确的财富动力学、资本约束和优化目标之上。

参考文献

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2. Bernoulli, D. (1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, 22(1), 23–36.
3. Kelly, J. L. Jr. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917–926.
4. Breiman, L. (1961). Optimal Gambling Systems for Favorable Games. Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1, 65–78.
5. Bell, R. M., & Cover, T. M. (1980). Competitive Optimality of Logarithmic Investment. Mathematics of Operations Research, 5(2), 161–166.
6. MacLean, L. C., Thorp, E. O., & Ziemba, W. T. (Eds.). (2010). The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice. World Scientific.
7. Cover, T. M., & Thomas, J. A. (2006). Elements of Information Theory, 2nd ed. Wiley.
8. Peters, O. (2019). The Ergodicity Problem in Economics. Nature Physics, 15, 1216–1221.