文章

Black-Scholes-Merton模型

发表于
作者 gctoph
11 分钟阅读
Black-Scholes-Merton模型

核心思想

通过构建一个无风险对冲投资组合来消除标的资产价格的随机性，再利用无套利原理推导出衍生品（如期权）的定价偏微分方程。

符号定义

符号含义
$ S $标的资产（如股票）价格，是随机过程
$ V(S, t) $衍生品（如期权）价格，是 $ S $ 和时间 $ t $ 的函数
$ \Pi $构建的投资组合价值
$ \mu $资产的预期年化收益率（漂移项）
$ \sigma $资产的年化波动率（风险度量）
$ r $无风险利率（常数）

几何布朗运动（GBM）

假设资产价格短期内服从几何布朗运动：

\[dS = \mu S \, dt + \sigma S \, dz\]
  • 漂移项：$ \mu S \, dt $ 表示确定性增长趋势；
  • 扩散项：$ \sigma S \, dz $ 表示由随机冲击引起的波动。
  • 标准维纳过程的微分增量 $ dz $：满足 $ dz \sim \mathcal{N}(0, dt) $

构建无风险对冲组合

投资组合构造

构建一个由1 份衍生品多头和$ \Delta $ 份标的资产空头组成的投资组合：

\[\Pi = V - \Delta S\]

其中，选择对冲比率：

\[\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}\]

这一选择使得对冲组合对标的资产价格的一阶变动无关。

组合价值的瞬时变化

在无穷小时间 $ dt $ 内，组合价值变化为：

\[d\Pi = dV - \Delta \, dS = dV - \frac{\partial V}{\partial S} dS\]

伊藤引理（Itô’s Lemma）

由于 $ V = V(S, t) $，且 $ S $ 是随机过程，需使用伊藤引理展开 $ dV $：

\[dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (dS)^2\]

计算 $ (dS)^2 $

代入 $ dS = \mu S dt + \sigma S dz $，得：

\[(dS)^2 = (\mu S dt + \sigma S dz)^2 = \mu^2 S^2 (dt)^2 + 2\mu\sigma S^2 dt\,dz + \sigma^2 S^2 (dz)^2\]

根据伊藤微积分规则（当 $ dt \to 0 $）：

  • $ (dt)^2 \to 0 $
  • $ dt \cdot dz \to 0 $
  • $ (dz)^2 = dt $

因此：

\[(dS)^2 \approx \sigma^2 S^2 \, dt\]

代入伊藤引理

\[dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dz) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt\]

整理得：

\[dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dz\]

代入对冲组合并消除随机性

将 $ dV $ 和 $ dS $ 代入 $ d\Pi = dV - \frac{\partial V}{\partial S} dS $：

\[d\Pi = \left[ \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dz \right] - \frac{\partial V}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dz)\]

展开后：

  • 随机项（含 $ dz $）： \(\sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dz - \frac{\partial V}{\partial S} \sigma S dz = 0\)

  • 确定性项（含 $ dt $）： \(\left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt\)

因此，对冲后的组合无随机性：

\[d\Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt\]

无套利原理与 Black-Scholes PDE

由于 $ \Pi $ 是无风险组合，其收益率必须等于无风险利率 $ r $，否则存在套利机会。

无风险资产的增长满足：

\[d\Pi = r \Pi \, dt\]

将两种表达式联立：

\[\left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt = r \left( V - S \frac{\partial V}{\partial S} \right) dt\]

两边除以 $ dt $，整理得 Black-Scholes 偏微分方程（PDE）：

\[\frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0\]

希腊字母

  • Delta ($ \Delta $)：$ \frac{\partial V}{\partial S} $，对冲比率；
  • Gamma ($ \Gamma $)：$ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} $，Delta 对价格的敏感度；
  • Theta ($ \Theta $)：$ \frac{\partial V}{\partial t} $，时间衰减。

PDE 求解

变量分类

在实际应用中，我们将 Black-Scholes PDE 中的变量分为三类：

可观测的输入

这些是市场数据或合约条款，可以直接获取：

符号含义说明
$ S $标的资产现价股票等标的资产的当前市场价格
$ K $行权价（Strike Price）期权合约约定的执行价格
$ T $到期日（Expiry Date）通常使用剩余到期时间 $ \tau = T - t $
$ r $无风险利率（Risk-Free Rate）与期权期限匹配的国债收益率
$ q $股息率（Dividend Yield）若标的资产支付股息，则需引入

不可直接观测的输入

符号含义
$ \sigma $波动率（Volatility）
  • 估计方法：
    • 历史波动率：基于过去价格收益率的标准差，反映历史波动，未必代表未来。
    • 隐含波动率（Implied Volatility, IV）：市场标准做法。将市场实际交易的期权价格 $ V_{\text{market}} $ 与其他已知参数代入 Black-Scholes 公式，反向求解出使模型价格等于市场价格的 $ \sigma $。

      即：求解 $ V_{\text{BS}}(S, K, T, r, \sigma) = V_{\text{market}} $ 中的 $ \sigma $

最终要求解的V

符号含义目标
$ V(S, t) $衍生品价格（Derivative Price）理论公允价值，即模型输出

求解目标：

找到一个具体的定价函数 $ V(S, t) $，使其满足该 PDE 以及特定衍生品的边界条件与终值条件。

该函数 $ V(S, t) $ 的作用是：

给定任意时刻 $ t < T $ 和任意标的资产价格 $ S $，输出该衍生品的理论公允价值。

\[\frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0\]

解析解

  • 适用对象：欧式期权等结构简单、边界条件明确的衍生品。
  • 方法：通过变量代换（如 $ x = \ln S $, $ \tau = T - t $）将 PDE 转化为热传导方程求解。
  • 优点：结果精确、计算极快。
  • 缺点：无法处理美式期权（因提前行权导致自由边界问题）。

对于欧式看涨期权，终值条件为：

\[V(S, T) = \max(S - K, 0)\]

求解 PDE 得到著名的 Black-Scholes 定价公式：

\[C(S, t) = S N(d_1) - K e^{-r(T - t)} N(d_2)\]

其中：

\[d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T - t}\]

$ N(\cdot) $ 为标准正态分布的累积分布函数。

数值方法

当解析解不存在时，使用数值近似。

1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）

  • 核心思想：将连续的 $ (S, t) $ 平面离散化为网格，用差商近似偏导数。 \(\frac{\partial V}{\partial t} \approx \frac{V^{n+1}_i - V^n_i}{\Delta t}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \approx \frac{V^n_{i+1} - 2V^n_i + V^n_{i-1}}{(\Delta S)^2}\)
  • 求解方向：从到期日 $ t = T $（已知终值）向后倒推至当前时刻 $ t = 0 $。
  • 优点：通用性强，可处理美式期权（通过在每步判断是否行权）、时变参数等。
  • 缺点：实现较复杂，计算量较大。

2. 二叉树/三叉树模型（Binomial/Trinomial Tree）

  • 核心思想：对标的资产价格路径进行离散化建模。
    • 每步：$ S \to uS $（上涨）或 $ S \to dS $（下跌），其中 $ u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, d = 1/u $
  • 定价过程：
    1. 构建价格树至到期日；
    2. 在叶节点计算期权 payoff；
    3. 从后往前，按风险中性概率折现：
      \(V = e^{-r \Delta t} [p V_{\text{up}} + (1 - p) V_{\text{down}}]\) 其中 $ p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d} $
  • 优点：直观、天然支持美式期权（每节点比较行权价值与持有价值）。
  • 缺点：收敛速度慢，高维问题效率低。

3. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）

  • 核心思想：基于风险中性定价原理，不直接解 PDE，而是模拟未来路径。
  • 步骤：
    1. 在风险中性测度下模拟 $ N $ 条资产价格路径：
      \(S_{t+\Delta t} = S_t \exp\left( (r - \frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \, \epsilon \right), \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0,1)\)
    2. 计算每条路径到期收益 $ \text{Payoff}_i $
    3. 估算价格：
      \(V \approx e^{-r(T - t)} \cdot \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \text{Payoff}_i\)
  • 优点：极其灵活，适用于路径依赖期权（如亚式、回望、障碍期权）。
  • 缺点：
    • 无法直接处理美式期权（因需最优停止决策）；
    • 收敛速度慢（误差 $ \propto 1/\sqrt{N} $）, 需大量模拟路径以保证精度。

warning

不可解
Beatrice SDE
本文由作者按照 CC BY 4.0 进行授权