Bernkastel印象曲『性善説』
性善説
Meta
anime: うみねこのなく頃に Umineko When They Cry
soundtrack: Rokkenjima in LOVE
name: 性善説 Seizensetsu
melody: 青い蝶 Blue Butterfly
archive: archive.org
video: bilibili_1 ; bilibili_2
Lyrics
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もしも、ボクが 悪魔に見えたなら
ちょっとだけ ボクを誉めよう
白く冷たい小さな指を 握り締め血が流れても
遠い日のキミの笑顔 いつまでも見つからないね
だけどボクが悪者に なればいつかは…
どうか、キミは心から 残酷なボクを憎み殺して
傷つけた言葉が腐って この世を晒う赤が消えたら
どうか、どうか、キミは微笑んで 残酷なボクを殺して下さい
悲しまないで あなたが殺すと誓えば
二人輝く青が降る
ダレか、ボクに微笑んで
気づかれない真実（ウソ）を知って下さい
震えすぎる指つかんで欲しいの
ナンデこんなにもかなしいんダロウか
中文翻译
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如果我在你眼中看起来像个恶魔
可以稍微夸奖我一下吗
即使血流不止 请紧紧握住我苍白冰冷又纤细的手
你往昔的笑容如此遥远，我再也无法找到了
但如果我饰演反派的话，或许有一天......
请你一定从心底憎恨并杀死残酷的我
当那些伤人的话语溃烂、当浸染这世界的红色褪去之时，
请你，请你，含笑着将残酷的我杀死；
不要悲伤，只要发誓杀死残酷的我
便会降下令我们二人闪耀的蓝光。
谁来，对我微笑一下吧
请知晓那未被察觉的真相（谎言）
想要有人抓住我那颤抖得过于厉害的手指
为什么我会
如此悲伤呢？
Quantum Mechanics: The Triad of State, Observable, and Outcome
https://sili-math.github.io/notes/LinearAlgebra.pdf
物理学理论的基本任务
任何物理理论的核心任务是建立一个数学框架，用以预测：
对一个处于特定 状态（State） 的物理系统，执行一次实验 测量（Observable），将以何种概率得到特定的 测量结果（Outcome）。
经典力学框架：此框架下的三者关系是不做区分的。 例如，一个质点的状态由其在相空间中的点 $(x, p)$ 唯一确定。测量其位置这一操作，理论上会确定性地得到结果 $x$，且一次理想的测量不改变该状态。状态本身直接包含了所有物理量的确定值。
量子力学框架：此框架要求严格区分这三个概念。 一个系统的状态，在一般情况下，无法为所有可能的测量都给出一个确定的预测结果。相反，它为一次测量给出的是一个可能结果的概率分布。因此，必须为“态”、“观测量”和“结果”建立独立的数学对应物，并明确它们之间的关联规则。
「态」（State）
系统的量子态是一个数学对象，它完备地编码了对该系统进行任何可能测量时，得到各种结果的概率信息。
公理一：系统的状态由一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中的归一化向量 $|\psi\rangle$ 所描述。
态向量：$|\psi\rangle$ 是一个抽象的信息载体。它本身不是一个物理量，而是计算所有物理量测量概率的起点。
向量空间结构 → 叠加原理： 如果 $|\phi_1\rangle$ 和 $|\phi_2\rangle$ 是系统可能的状态，那么它们的线性组合 $|\psi\rangle = c_1 |\phi_1\rangle + c_2 |\phi_2\rangle$（其中 $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$）也是一个合法的状态。
- 希尔伯特空间结构：
- 它是一个在复数域 $\mathbb{C}$ 上的完备内积空间。
- 内积： $\langle \phi | \psi \rangle$ 是一个复数，定义了向量的范数和正交性。
- 归一化条件：状态向量的范数为1，即 $\langle \psi | \psi \rangle = 1$。此条件是概率解释的数学基础。
- 复数的角色： 系数 $c_i$ 的相位（phase）是物理可区分的，它在描述量子干涉现象时不可或缺。
「观测量」（Observable）
物理测量操作在数学上由特定的线性算符表示。
记号约定：
- 算符：通常用大写字母表示，如 $\hat{A}, \hat{H}, \hat{P}$。
- 本征值：用对应的小写字母表示，如 $a, E, p$。
- 本征向量：直接将本征值放入 ket 符号中。
公理二：每一个物理观测量（如能量、动量、自旋）都对应于该希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的一个厄米算符（Hermitian Operator），记作 $\hat{A}$。
厄米算符($\hat{A} = \hat{A}^\dagger$)的谱理论性质与物理测量的要求完美契合：
- 谱是实数集：其本征值 ${a_i}$ 均为实数。这与任何物理测量的结果都必须是实数相符。 \(\hat{A} |a_i\rangle = a_i |a_i\rangle, \quad a_i \in \mathbb{R}\)
- 谱是完备的：其本征向量 ${|a_i\rangle}$ 构成 $\mathcal{H}$ 的一组标准正交基。这意味着任何状态 $|\psi\rangle$ 都可以被唯一地展开： \(|\psi\rangle = \sum_i c_i |a_i\rangle, \quad \text{其中 } c_i = \langle a_i | \psi \rangle\)
算符 $\hat{A}$ 的数学结构预先定义了与其对应的物理测量所可能产生的全部结果（其本征值谱 ${a_i}$）以及与每个确定结果相对应的状态（其本征向量集合 ${|a_i\rangle}$）。
「测量结果」（Outcome）
以下公理建立了态、观测量与测量结果之间的定量联系。
公理三 (测量结果)： 对观测量 $\hat{A}$ 的单次测量，得到的结果必然是 $\hat{A}$ 的某个本征值 $a_i$。
公理四 (Born 定则)： 当系统处于状态 $|\psi\rangle$ 时，测量观测量 $\hat{A}$ 得到结果 $a_i$ 的概率 $P(a_i)$ 为： \(P(a_i) = |\langle a_i | \psi \rangle|^2\) 如果本征值 $a_i$ 是简并的，则概率为对所有属于该本征值的本征态的投影的模方和。
公理五 (状态投影/更新)： 如果对状态为 $|\psi\rangle$ 的系统测量 $\hat{A}$ 得到了结果 $a_i$ (假设为非简并)，那么在测量之后，系统的状态更新为对应的本征态 $|a_i\rangle$。 \(|\psi\rangle \xrightarrow{\text{测量 } \hat{A} \text{ 得 } a_i} |a_i\rangle\) 这一规则确保了测量的可重复性：紧接着的下一次对 $\hat{A}$ 的测量将以概率 1 得到相同结果 $a_i$。
示例：量子比特（Qubit）—— 自旋-1/2 系统
「态」
状态空间为二维希尔伯特空间 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^2$。标准基：
\[|\uparrow\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}， |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]一个任意的纯态为：$|\psi\rangle = \alpha |\uparrow\rangle + \beta |\downarrow\rangle$, 满足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。
「观测量」：z-方向自旋
对应的算符为泡利矩阵
\[\hat{\sigma}_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]- 本征值：$a_1 = +1$, $a_2 = -1$。（可能的结果）
- 本征向量：$|a_1\rangle = |\uparrow\rangle$, $|a_2\rangle = |\downarrow\rangle$。（与结果对应的状态）
「测量结果」
设系统初态为 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |\uparrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |\downarrow\rangle$。测量 $\hat{\sigma}_z$：
- 得到结果 $+1$ 的概率：$P(+1) = |\langle \uparrow | \psi \rangle|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2}$。
- 得到结果 $-1$ 的概率：$P(-1) = |\langle \downarrow | \psi \rangle|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2}$。
- 若某次测量得到 $+1$，根据公理五，系统状态更新为 $|\uparrow\rangle$。
经典统计与量子统计
量子纯态 (Pure State)：由态向量 $|\psi\rangle$ 描述。其概率幅 $\alpha, \beta$ 包含相位信息，这导致了在某些测量基下的干涉效应，是纯粹的量子现象。
混合态 (Mixed State)：描述的是一个统计系综，例如一个系统有 $p_1$ 的概率处于 $|\psi_1\rangle$ 态，有 $p_2$ 的概率处于 $|\psi_2\rangle$ 态。这种不确定性来源于经典意义上的信息缺失。它需要用密度算符 $\hat{\rho}$ 来描述：
\(\hat{\rho} = \sum_j p_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j|\)
混合态中不存在不同 $|\psi_j\rangle$ 之间的相干性。当一个量子系统与环境发生相互作用导致其相位信息丢失（退相干），其行为就会从纯态演化得越来越像一个混合态。经典概率分布可以被视为量子力学框架下混合态的一种特例，它对应于量子相干性完全消失的极限情况。
| 概念 | 数学对象 | 物理/操作意义 |
|---|---|---|
| 态 | $\mathcal{H}$ 中的单位向量 $|\psi\rangle$ | 编码了对系统所有可能测量的概率预测 |
| 观测量 | $\mathcal{H}$ 上的厄米算符 $\hat{A}$ | 代表一种特定的测量操作及其可能的结果谱 |
| 测量结果 | $\hat{A}$ 的本征值 $a_i$ | 一次测量实际产生的数值输出，其概率由 Born 定则决定 |
这个形式化框架是量子力学的数学核心。它本身不依赖于任何特定的哲学诠释（如实在论或定域性），而仅仅提供了一套算法，用于预测微观世界的实验结果。
